Erste binomische Formel
Für alle, die Klammern ausmultiplizieren können, ist die erste binomische Formel eigentlich nichts neues, auch wenn sie auf den ersten Blick abschreckend wirkt. Denn diese lautet:
- 1. Binomische Formel: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
- Herleitung: ( a + b )2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Die Herleitung ist für alle diejenigen interessant, die sich Fragen: „Woher kommt das eigentlich?“ Alle anderen benötigen nur den mathematischen Ausdruck, den ich fett markiert habe. Die Herleitung zeigt einfach nur, wie man die Klammern ausmultipliziert ( was wir im oben verlinkten Abschnitt bereits erklärt haben ). Ein paar Beispiele demonstrieren, wie man die Formel anwendet:
- ( 3 + 4 )2 = 32 + 2 · 3 · 4 + 42 = 9 + 24 + 16 = 49
- ( 1 + 2 )2 =12 + 2 · 1 · 2 + 22 =1 + 4 + 4 = 9
Tipp: Schaut in die binomische Formel und macht euch klar, was a und b ist. Und dann setzt ihr für a und b die Zahlen ein. Vergleicht die Formel mit dem was ich oben vorgerechnet habe, dann sollte es klarer werden. Unsere Übungsaufgaben ( Link am unteren Ende des Artikels ) dazu sollten ebenfalls für zusätzliche Erleuchtung sorgen.
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Zweite Binomische Formel
Die zweite binomische Formel sieht sehr ähnlich aus. Nur hier findet sich nun ein negatives Vorzeichen. Es folgt wieder die Formel samt Herleitung:
- 2. Binomische Formel: ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
- Herleitung: ( a – b )2 = ( a – b ) · ( a – b ) = a2 – ab -ba + b2 = a2 – 2ab + b2
Auch hier geht es letzten Endes darum, in der Aufgabestellung zu sehen „Ok, da ist eine Differenz in der Klammer“ und dann einzusetzen. Zum besseren Verständnis auch hier wieder zwei kleine Beispiele:
- ( 4 – 2 )2 = 42 -2 · 4 · 2 + (2)2 =16 – 16 + 4 = 4
- ( 3 – a )2 = 32 – 2 · 3 · a + a2 = 9 – 6a + a2
Auch hier wieder der Rat: Vergleicht die 2.Binomische Formel von oben mit dem was in den Beispielen gerechnet wurde. Anschließend solltet ihr die Übungsaufgaben machen, welche am unteren Ende des Artikels verlinkt sind.
Dritte Binomische Formel
Kommen wir zur dritten – und damit letzten – binomischen Formel. Diese hilft zwei Klammern zu multiplizieren, die wie folgt aussehen:
- 3.Binomische Formel: ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
- Herleitung: ( a + b ) ( a – b ) = a2 -ab + ba -b2 = a2 – b2
Diese Formel ist somit anzuwenden, wenn man zwei Klammern hat, bei der sich die zweite Variable nur im Vorzeichen anders verhält. Auch hier helfen ( hoffentlich ) einige Beispiele zur Verdeutlichung:
- ( a + 3 ) ( a – 3 ) = a2 -32 = a2 – 9
- ( 2 + b ) ( 2 – b ) = 22 – b2 = 4 – b2